Existence and multiplicity of positive solutions for Kirchhoff type equations at the critical frequency

We consider the following Kirchhoff equation with critical Sobolev exponent <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <a:mtable displaystyle="true"> <a:mlabeledtr> <a:mtd id="mjx-eqn-eq0"> <a:mtext>(K)</a:mtext> </a:mtd> <a:mtd> <a:mrow> <a:mo>{</a:mo> <a:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <a:mtr> <a:mtd> <a:mrow> <a:mo>(</a:mo> <a:mrow> <a:mi>a</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi>b</a:mi> <a:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <a:msub> <a:mo> ∫ </a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>N</a:mi> </a:mrow> </a:msup> </a:mrow> </a:msub> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:msup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mfrac> <a:mi>s</a:mi> <a:mn>2</a:mn> </a:mfrac> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>d</a:mi> <a:mi>x</a:mi> </a:mstyle> </a:mrow> <a:mo>)</a:mo> </a:mrow> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mo> − </a:mo> <a:mi mathvariant="normal"> Δ </a:mi> <a:msup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>s</a:mi> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mi>u</a:mi> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo stretchy="false">|</a:mo> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:msubsup> <a:mn>2</a:mn> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>s</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mo> ∗ </a:mo> </a:mrow> </a:msubsup> <a:mo> − </a:mo> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mi>u</a:mi> <a:mo>+</a:mo> <a:mi> μ </a:mi> <a:mi>g</a:mi> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:mi>x</a:mi> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> <a:mspace width="1em"/> <a:mspace width="thinmathspace"/> <a:mspace width="thinmathspace"/> <a:mi>x</a:mi> <a:mo> ∈ </a:mo> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>N</a:mi> </a:mrow> </a:msup> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> <a:mtr> <a:mtd> <a:mi>u</a:mi> <a:mo> ∈ </a:mo> <a:msup> <a:mi>D</a:mi> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>s</a:mi> <a:mo>,</a:mo> <a:mn>2</a:mn> </a:mrow> </a:msup> <a:mo stretchy="false">(</a:mo> <a:msup> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi mathvariant="double-struck">R</a:mi> </a:mrow> <a:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <a:mi>N</a:mi> </a:mrow> </a:msup> <a:mo stretchy="false">)</a:mo> <a:mo>,</a:mo> </a:mtd> </a:mtr> </a:mtable> <a:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </a:mrow> </a:mtd> </a:mlabeledtr> </a:mtable> </a:math> where