Boundedness of operators on tent spaces and applications to PDE's

Continuité d'opérateurs sur les espaces de tentes et applications aux EDP Cette thèse étudie la continuité des opérateurs d'intégrale singulière sur les espaces de tentes et explore leurs applications aux EDP paraboliques. Nous développons un cadre théorique fondé sur la décroissance hors-diagonale. Ce cadre fournit un résultat amélioré (éventuellement optimal) concernant la continuité de l'opérateur de régularité maximale sur ces espaces. En nous appuyant sur ce cadre, nous établissons un panorama complet concernant l'existence, l'unicité et la représentation des solutions faibles aux problèmes de Cauchy paraboliques non-autonomes sous forme divergence. Les coefficients sont supposés être uniformément elliptiques, bornés, mesurables et possiblement à valeurs complexes, sans hypothèses supplémentaires de régularité ou de symétrie. Les données initiales sont des distributions tempérées prises dans les espaces Hardy--Sobolev homogènes, tandis que les termes sources appartiennent à certaines échelles d'espaces de tentes pondérés. Les solutions faibles sont construites de manière à ce que leurs gradients appartiennent aux espaces de tentes pondérés. Nous appliquons enfin les espaces de tentes à l'équation de Navier--Stokes, en résovant un problème ouvert concernant la continuité temporelle et le comportement en grand temps des solutions mild dans l’espace de Koch--Tataru évoluant à partir de données initiales dans BMO⁻¹.